پاسخ کاردرکلاس صفحه 144 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 144 - کار در کلاس 1 سلام! برای رسم یک **چندضلعی منتظم** محاط در دایره، ما از خاصیت **زاویه‌ی مرکزی** استفاده می‌کنیم. در یک $n$-ضلعی منتظم، تمام کمان‌های روبه‌رو به ضلع‌ها با هم مساوی هستند. ### گام اول: محاسبه‌ی زاویه‌ی مرکزی 1. **تعیین زاویه:** در یک پنج ضلعی منتظم ($n=5$)، زاویه‌ی مرکزی هر ضلع (کمان) برابر است با: $${ \alpha = \frac{360^{\circ}}{n} }$$ $${\alpha = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ} }$$ ### گام دوم: رسم اولین شعاع و زاویه 1. **شعاع $\mathbf{OA}$:** مرکز دایره ($\mathbf{O}$) را مشخص کنید و یک شعاع دلخواه ($\mathbf{\overline{OA}}$) را رسم کنید. این اولین رأس پنج ضلعی خواهد بود. 2. **رسم زاویه:** نقاله را روی مرکز $\mathbf{O}$ قرار دهید و از روی شعاع $\mathbf{\overline{OA}}$، یک زاویه‌ی $\mathbf{72^{\circ}}$ اندازه‌گیری کنید. شعاع $\mathbf{\overline{OB}}$ را رسم کنید. نقطه‌ی $\mathbf{B}$ دومین رأس است. ### گام سوم: علامت زدن رئوس با پرگار 1. **اندازه‌گیری وتر:** دهانه‌ی پرگار را به اندازه‌ی طول وتر $\mathbf{\overline{AB}}$ باز کنید. 2. **رسم کمان‌های مساوی:** پرگار را در نقطه‌ی $\mathbf{B}$ قرار دهید و یک کمان روی دایره بزنید تا نقطه‌ی $\mathbf{C}$ (رأس سوم) به دست آید. این کار را به ترتیب ادامه دهید تا رئوس $\mathbf{D}$ و $\mathbf{E}$ و در نهایت رأس $\mathbf{A}$ (رأس اول) به دست آیند. ### گام چهارم: وصل کردن رئوس 1. رئوس $\mathbf{A}$، $\mathbf{B}$، $\mathbf{C}$، $\mathbf{D}$، و $\mathbf{E}$ را با خط‌کش به صورت متوالی به هم وصل کنید. **نتیجه:** شکل حاصل یک **پنج ضلعی منتظم محاط در دایره** است که تمام ضلع‌های آن (وترها) برابرند و تمام زوایای داخلی آن نیز مساوی هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 144 - کار در کلاس 2 این یک فعالیت هندسی جالب است که خاصیت **شعاع** و **شش ضلعی منتظم** را با هم ترکیب می‌کند. ### الف) پی در پی کمان زدن با شعاع 1. وقتی دهانه‌ی پرگار را به اندازه‌ی شعاع ($\mathbf{r}$) باز می‌کنیم و پی در پی کمان می‌زنیم، در واقع شش نقطه‌ی متوالی روی محیط دایره به دست می‌آید که فاصله‌ی هر نقطه تا دو همسایه‌ی خود دقیقاً برابر $\mathbf{r}$ است. ### ب) تقسیم دایره * **پاسخ:** دایره به **شش کمان** تقسیم می‌شود. ### ج) دلیل تساوی کمان‌ها 1. هنگامی که فاصله‌ی هر دو نقطه‌ی متوالی (وتر) برابر با $\mathbf{r}$ است، مثلث تشکیل شده بین مرکز ($\mathbf{O}$) و آن دو نقطه (مثلاً $\mathbf{\triangle OAB}$) یک **مثلث متساوی‌الاضلاع** خواهد بود (زیرا هر سه ضلع $\mathbf{\overline{OA}}$، $\mathbf{\overline{OB}}$ و $\mathbf{\overline{AB}}$ برابر $\mathbf{r}$ هستند). 2. در مثلث متساوی‌الاضلاع، تمام زاویه‌ها $60^{\circ}$ هستند. 3. بنابراین، زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به هر کمان ($\mathbf{\angle AOB}$) برابر $\mathbf{60^{\circ}}$ است. 4. چون تمام زاویه‌های مرکزی برابرند، **تمام کمان‌های روبه‌رو به آن‌ها نیز مساوی** هستند. ### د) اندازه‌ی هر کمان * **پاسخ:** اندازه‌ی هر کمان برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است: $${ \text{اندازه هر کمان} = 60^{\circ} }$$ ### هـ) چند کمان $\mathbf{120^{\circ}}$ درجه دیده می‌شود؟ * **توضیح:** کمان $\mathbf{120^{\circ}}$ از **جمع دو کمان $\mathbf{60^{\circ}}$ متوالی** به دست می‌آید. * چون در دایره ۶ کمان $60^{\circ}$ داریم، می‌توانیم به تعداد مختلف کمان‌های متوالی $120^{\circ}$ پیدا کنیم. * اگر رئوس شش ضلعی را $\mathbf{A}$ تا $\mathbf{F}$ نامگذاری کنیم: * کمان $\overparen{AC}$ ($verparen{AB} + verparen{BC}$) برابر $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. * کمان $\overparen{BD}$، $\overparen{CE}$، $\overparen{DF}$، $\overparen{EA}$، و $\overparen{FB}$ نیز کمان‌های $120^{\circ}$ هستند. * **پاسخ:** **۶ کمان $\mathbf{120^{\circ}}$** درجه در این شکل دیده می‌شود.